Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.

   Решение

а)  1 < cos + cos + cos 3/2;
б)  1 < sin(/2) + sin(/2) + sin(/2) 3/2.

   Решение

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

   Решение

Отрезок MN, параллельный стороне CD четырехугольника ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведенных из точек A и B параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b. Докажите, что  MN² = (ab + c²)/2, где c = CD.

   Решение

Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

   Решение

Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция симметрий S_coS_boS_a является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.

   Решение

x² ≡ y² (mod 239).  Доказать, что  x ≡ y  или  x ≡ – y.

   Решение

Докажите тождество: 1³ + 2³ +...+ n³ = (1 + 2 +...+ n)².

   Решение

Может ли  m! + n!  оканчиваться на 1990?

   Решение

Пусть на двух пересекающихся прямых l₁ и l₂ выбраны точки M₁ и M₂, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M₁, M₂ и M.
Если (l₁, M₁), (l₂, M₂), (l₃, M₃) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l₁, M₁) и (l₂, M₂), (l₂, M₂) и (l₃, M₃), (l₃, M₃) и (l₁, M₁), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из n прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности S_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть l_i, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек A_i, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).

Прислать комментарий

Решение

Пусть на двух пересекающихся прямых l₁ и l₂ выбраны точки M₁ и M₂, не совпадающие с точкой пересечения M этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через M₁, M₂ и M.
Если (l₁, M₁), (l₂, M₂), (l₃, M₃) — прямые с выбранными точками в общем положении, то согласно задаче 2.80, а) три окружности, соответствующие парам (l₁, M₁) и (l₂, M₂), (l₂, M₂) и (l₃, M₃), (l₃, M₃) и (l₁, M₁), пересекаются в одной точке, которую мы поставим в соответствие тройке прямых с точками.
а) Пусть l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, на каждой из которых задано по точке, причем эти точки лежат на одной окружности. Докажите, что четыре точки, соответствующие тройкам, получаемым отбрасыванием одной из прямых, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что каждому набору из n прямых общего положения с заданными на них точками, лежащими на одной окружности, можно поставить в соответствие точку (при нечетном n) или окружность (при четном n) так, что n окружностей (точек при четном n), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности при четном n).

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂,..., S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_{n - 1} и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂,..., T_n (поризм Штейнера).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]