Чук и Гек наряжали елку. Чтобы они не подрались, мама выделила каждому из них по одинаковому числу веточек и по одинаковому числу игрушек. Чук попробовал на каждую ветку повесить по одной игрушке, но ему не хватило для этого одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить по две игрушки, но одна ветка у него оказалась пустой. Как Вы думаете, сколько веток и сколько игрушек выделила мама сыновьям?

   Решение

Три числа x, y и z отличны от нуля и таковы, что  x² – y² = yz  и  y² – z² = xz.  Докажите, что  x² – z² = xy.

   Решение

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

   Решение

а) Докажите, что проекции фокусов эллипса на все касательные лежат на одной окружности.
б) Пусть d₁ и d₂ — расстояния от фокусов эллипса до касательной. Докажите, что величина d₁d₂ не зависит от выбора касательной.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]      

Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Докажите, что:
а) площадь треугольника AOB не зависит от выбора сопряженных диаметров;
б) величина OA²+OB² не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что проекции фокусов эллипса на все касательные лежат на одной окружности.
б) Пусть d₁ и d₂ — расстояния от фокусов эллипса до касательной. Докажите, что величина d₁d₂ не зависит от выбора касательной.

Прислать комментарий

Решение

Из точки O проведены касательные OA и OB к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что AOF₁ = BOF₂ и AF₁O = BF₁O.

Прислать комментарий

Решение

В треугольник вписан эллипс. Докажите, что фокусы эллипса изогонально сопряжены относительно этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В четырёхугольник ABCD вписан эллипс с фокусом F. Докажите, что AFB + CFD = 180^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]