- глава 1. Метод математической индукции (59 задач)
- глава 2. Комбинаторика (110 задач)
- глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (173 задачи)
- глава 4. Арифметика остатков (209 задач)
- глава 5. Числа, дроби, системы счисления (85 задач)
- глава 6. Многочлены (141 задача)
- глава 7. Комплексные числа (97 задач)
- глава 8. Алгебра + геометрия (90 задач)
- глава 9. Уравнения и системы (100 задач)
- глава 10. Неравенства (76 задач)
- глава 11. Последовательности и ряды (99 задач)
- глава 12. Шутки и ошибки (15 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)
Позиционная система
счисления.
Докажите, что
при
q 2 каждое натуральное число n может быть
единственным образом представлено в виде
а) Вершины правильного 10-угольника закрашены чёрной и белой краской через одну. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит отрезок, соединяющий вершины одинакового цвета. Эти отрезки не должны иметь общих точек (даже концов) с проведенными ранее. Побеждает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнер?
б) Тот же вопрос для 12-угольника.
Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?
Рассматриваются такие наборы действительных чисел {x1, x2, x3, ..., x20}, заключённых между 0 и 1, что x1x2x3...x20 = (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – x20). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x1x2x3...x20 максимально.
а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа
так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.
Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.
Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришёл получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Каково наименьшее количество номеров нужно перебрать, чтобы наверняка открыть камеру?
Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало бы столько же бензина, сколько во втором?
Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по
олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары;
выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию).
Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз.
Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.
Число x таково, что число
x + — целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn +
также является целым.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]
Задача 60274 (#01.001)[Деление с остатком] |
|
|
Докажите, что если a и b – целые числа и b ≠ 0, то существует единственная пара чисел q и r, для которой a = bq + r, 0 ≤ r < |b|.
|
|
Решение |
Задача 60275 (#01.002) |
|
|
Позиционная система
счисления.
Докажите, что
при
q 2 каждое натуральное число n может быть
единственным образом представлено в виде
|
|
Решение |
Задача 60276 (#01.003) |
|
|
Пусть a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T an+T = an (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.
|
|
|
Решение |
Задача 60277 (#01.004) |
|
|
Аксиома индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1,
и из предположения, что утверждение верно для некоторого n, вытекает его
справедливость для n+1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел.
Докажите, что аксиома индукции
равносильна любому из следующих утверждений:
1) всякое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число;
2) всякое конечное непустое подмножество натуральных чисел
содержит наибольшее число;
3) если некоторое множество натуральных чисел содержит 1 и
вместе с каждым натуральным числом содержит следующее за ним, то
оно содержит все натуральные числа;
4) если известно, что некоторое утверждение верно для некоторого
a, и из предположения, что утверждение верно для всех
натуральных чисел k, таких, что
a k < n вытекает его
справедливость для n, то это утверждение верно для всех
натуральных чисел
k
a;
5) (Обратная индукция.) Если известно, что некоторое утверждение
верно для 1 и 2, и из предположения, что утверждение верно для
некоторого n > 1, вытекает его справедливость для 2n и n - 1, то
это утверждение верно для всех натуральных чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 60278 (#01.005) |
|
|
Число x таково, что число
x + — целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn +
также является целым.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1255]
