Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?

Вниз   Решение


В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

ВверхВниз   Решение


Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

ВверхВниз   Решение


Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что числа Ферма  fn = 22n + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение


Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите для положительных значений переменных неравенство  (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc.

ВверхВниз   Решение


n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.

ВверхВниз   Решение


Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:

a2(a1 - a2 + a3) < 0
a3(a2 - a3 + a4) < 0
.........    
a11(a10 - a11 + a12) < 0

Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.

ВверхВниз   Решение


Пусть  {pn} – последовательность простых чисел  (p1 = 2,  p2 = 3,  p3 = 5, ...).
  а) Докажите, что  pn > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  pn > 3n?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 173]      



Задача 60473  (#03.021)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Верно ли, что многочлен  P(n) = n² + n + 41  при всех n принимает только простые значения?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60474  (#03.022)

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть  {pn} – последовательность простых чисел  (p1 = 2,  p2 = 3,  p3 = 5, ...).
  а) Докажите, что  pn > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  pn > 3n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60475  (#03.023)

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите неравенство  pn+1 < p1p2...pn  (pkk-е простое число).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60476  (#03.024)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Верно ли, что все числа вида  p1p2...pn + 1 являются простыми? (pkk-е простое число.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 60477  (#03.025)

 [Числа Евклида]
Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2,  en = e1e2...en–1 + 1  (n ≥ 2).  Все ли числа en являются простыми?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 173]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .