Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
- параграф 1. Простые числа (30 задач)
- параграф 2. Алгоритм Евклида (45 задач)
- параграф 3. Мультипликативные функции (31 задача)
- параграф 4. О том, как размножаются кролики (35 задач)
- параграф 5. Цепные дроби (32 задачи)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными
номерами F-1, F-2, ..., F-n,...?
При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.
Может ли вершина параболы у = 4х² – 4(а + 1)х + а лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении а?
Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:
| а) F1 + F2 +...+ Fn = Fn + 2 - 1; | в) F2 + F4 +...+ F2n = F2n + 1 - 1; |
| б) F1 + F3 +...+ F2n - 1 = F2n; | г) F12 + F22 +...+ Fn2 = FnFn + 1. |
Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
Пусть p – простое число и представление числа n
в p-ичной системе имеет вид: n = akpk + ak–1pk–1 + ... + a1p1 + a0.
Найдите формулу, выражающую показатель αp, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и
коэффициенты ak.
Докажите, что число p входит в разложение n! с показателем, не превосходящим
Точка P перемещается по описанной окружности
квадрата ABCD. Прямые AP и BD пересекаются в точке Q, а прямая,
проходящая через точку Q параллельно AC, пересекает прямую BP в
точке X. Найдите ГМТ X.
Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр
описанной окружности, K — точка Лемуана.
Существует ли такое целое число r, что является целым числом при любом n?
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x.
Докажите, что ad = bc.
Тождество Кассини. Докажите равенство
Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n?
Задачи Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 173]
Задача 60564 (#03.112)[Тождество Кассини] |
|
|
Тождество Кассини. Докажите равенство
Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n?
|
|
Решение |
Задача 60565 (#03.113) |
|
|
Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи:
| а) F1 + F2 +...+ Fn = Fn + 2 - 1; | в) F2 + F4 +...+ F2n = F2n + 1 - 1; |
| б) F1 + F3 +...+ F2n - 1 = F2n; | г) F12 + F22 +...+ Fn2 = FnFn + 1. |
|
|
|
Решение |
Задача 60566 (#03.114) |
|
|
Докажите, что при
n 1 и
m
0 выполняется равенство
Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.
|
|
Решение |
Задача 60567 (#03.115) |
|
|
Докажите равенства
а)
F2n + 1 = Fn2 + Fn + 12;
б)
Fn + 1Fn + 2 - FnFn + 3 = (- 1)n + 1;
в)
F3n = Fn3 + Fn + 13 - Fn - 13.
|
|
|
Решение |
Задача 60568 (#03.116) |
|
|
Вычислите
Fn + 24 - FnFn + 1Fn + 3Fn + 4.
|
|
|
Решение |
Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 173]
