Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
>>
параграф 4. О том, как размножаются кролики
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.
Докажите равенства
а)
-
= 1;
б)
+
= 1.
Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются
частными случаями.
Докажите, что граф с n вершинами, степень каждой из которых не менее n–1/2, связен.
План города имеет схему, изображенную на рисунке.
На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх".
Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки A в точку B.
Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы
а) среди них был ровно один туз?
б) среди них был хотя бы один туз?
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?
Человек имеет шесть друзей и в течение пяти дней приглашает к себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась.
Сколькими способами он может это сделать?
В стране из каждого города выходит 100 дорог и от каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт.
Докажите, что и теперь от каждого города можно добраться до любого другого.
Вычислите сумму:
Рассмотрим множество последовательностей длины
n, состоящих из 0 и 1, в которых не бывает двух 1 стоящих
рядом. Докажите, что количество таких последовательностей равно
Fn + 2. Найдите взаимно-однозначное соответствие между такими
последовательностями и маршрутами кузнечика из задачи 3.109.
Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2n–1 способами.
Сколько существует десятизначных чисел, сумма цифр которых равна а) 2; б) 3; в) 4?
Решите в целых числах уравнение xφn+1 + yφn.
Число φ определено в задаче 60578.
Пусть число m1 в десятичной системе счисления записывается при помощи n цифр.
Докажите, что при любом m0 число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m0 и m1 удовлетворяет неравенству k ≤ 5n.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]
Задача 60590 (#03.138) |
|
|
а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при m ≥ 2 встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F5n+2 (n ≥ 0) содержит в своей десятичной записи не менее n + 1 цифры.
|
|
Решение |
Задача 60591 (#03.139) |
|
|
Рассмотрим алгоритм Евклида из задачи 60488, состоящий из k
шагов.
Докажите, что начальные числа m0 и m1 должны удовлетворять неравенствам m1 ≥ Fk+1, m0 ≥ Fk+2.
|
|
|
Решение |
Задача 60592 (#03.140)[Теорема Ламе] |
|
|
Пусть число m1 в десятичной системе счисления записывается при помощи n цифр.
Докажите, что при любом m0 число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m0 и m1 удовлетворяет неравенству k ≤ 5n.
|
|
Решение |
Задача 60593 (#03.141)[Фибоначчиевы коэффициенты] |
|
|
| 1 | ||||||||||||||
| 1 | 1 | |||||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||||
| 1 | 2 | 2 | 1 | |||||||||||
| 1 | 3 | 6 | 3 | 1 | ||||||||||
| 1 | 5 | 15 | 15 | 5 | 1 | |||||||||
| 1 | 8 | 40 | 60 | 40 | 8 | 1 | ||||||||
| 1 | 13 | 104 | 260 | 260 | 104 | 13 | 1 |
Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов
а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии
б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент через
и
(аналогичную равенству б) из задачи 60413).
в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.
|
|
|
Решение |
Задача 60594 (#03.142) |
|
|
Пусть a1, a2, ... – такая последовательность ненулевых чисел, что (am, an) = a(m, n) (m, n ≥ 1).
Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты являются целыми числами.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]
