Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 5. Числа, дроби, системы счисления
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек

1 3 5 7
9 11 13 15
17 19 21 23
25 27 29 31
    
2 3 6 7
10 11 14 15
18 19 22 23
26 27 30 31
    
4 5 6 7
12 13 14 15
20 21 22 23
28 29 30 31

8 9 10 11
12 13 14 15
24 25 26 27
28 29 30 31
    
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
те, на которых это число присутствует. Как, зная эти карточки, угадать задуманное число? Какими должны быть карточки, чтобы по ним можно было угадывать числа от 1 до 63?

Вниз   Решение

Карточный фокус. а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта. Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз?
б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3n (n < 9) карт?

ВверхВниз   Решение

Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

ВверхВниз   Решение

Для последовательности {an}

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$an + 1 - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0.

Докажите, что $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$an = 0.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любого плоского графа (в том числе и несвязного) справедливо неравенство  E ≤ 3V – 6.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для плоского связного графа справедливо неравенство  E ≤ 3V – 6.

ВверхВниз   Решение

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

ВверхВниз   Решение

Найдите предел последовательности, которая задана условиями

a1 = 2,        an + 1 = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


ВверхВниз   Решение

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log23 .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что уравнение  x³ + x²y + y³ = 0  не имеет рациональных решений, кроме  (0, 0).

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел {an} задана условиями

a1 = 1,        an + 1 = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что
а) последовательность {an} ограничена;
б) | a1000 - 2| < $ \left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$$ {\dfrac{3}{4}}$$ \left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$.

ВверхВниз   Решение

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  n ≠ 4  не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

ВверхВниз   Решение

4 монеты. Из четырех монет одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за два взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

ВверхВниз   Решение

В некоторой стране каждый город соединён с каждым дорогой с односторонним движением.
Докажите, что найдётся город, из которого можно добраться в любой другой.

ВверхВниз   Решение

В одном государстве 100 городов и каждый соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения не более чем на одной дороге так, чтобы от каждого города можно было доехать до любого другого.

ВверхВниз   Решение

Число e определяется равенством    Докажите, что

а)  

б)    где  0 < rn ≤ 1/n!n;

в)  e – иррациональное число.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 85]      

  с решениями  

Задача 60869  (#05.031)

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что на окружности с центром в точке    лежит не более одной точки целочисленной решетки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60870  (#05.032)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

а) ;     д) ;
б) ;     е) ;
в) ;     ж) .
г) ;  

Прислать комментарий     Решение

Задача 60871  (#05.033)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

При каких натуральных n число  ( + 1)n – ( – 1)n  будет целым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60872  (#05.034)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите следующие равенства:
  а) = + ;
  б) = 2 cos.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60873  (#05.035)

 [Иррациональность чмсла e]
Темы:   [ Число e ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Число e определяется равенством    Докажите, что

а)  

б)    где  0 < rn ≤ 1/n!n;

в)  e – иррациональное число.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 85]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .