Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?

Вниз   Решение


Петя и Вася выписывают 12-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Петя.

Докажите, что какие бы цифры он не писал, Вася всегда сможет добиться, чтобы получившееся число делилось на 9.

ВверхВниз   Решение


Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда  d2 = R12 + R22.

ВверхВниз   Решение


В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9, 18, 27, 36, ... . Под каждым числом этого ряда записана его сумма цифр.
  а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?
  б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?

ВверхВниз   Решение


100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

ВверхВниз   Решение


Пусть m1(x), ..., mn(x) – попарно взаимно простые многочлены, a1(x), ..., an(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a1(x) (mod m1(x)),
      ...
    p(x) ≡ an(x) (mod mn(x))
и  deg p(x) < deg m1(x) + ... + deg mn(x).

ВверхВниз   Решение


Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на  x – 1,  и остаток 1 при делении на  x – 2.
Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен  (x – 1)(x – 2)?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.

ВверхВниз   Решение


Пользуясь схемой Горнера, разложите  x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 1  по степеням  x + 1.

ВверхВниз   Решение


Вершины параллелограмма A1B1C1D1 лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A1 лежит на стороне AB, точка B1 – на стороне BC и т. д.).
Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

ВверхВниз   Решение


Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Биссектриса угла O1AO2 повторно пересекает окружности в точках C и D.
Докажите, что центр O описанной окружности треугольника CBD равноудалён от точек O1 и O2.

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC (AC>AB ) провели биссектрису AK и медиану AT, последнюю продлили до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке D. Точка F симметрична K относительно T. Даны углы треугольника ABC, найдите угол FDA.

ВверхВниз   Решение


Найдите такие многочлены P(x) и Q(x), что  (x + 1)P(x) + (x4 + 1)Q(x) = 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 60995  (#06.072)

Темы:   [ Методы решения задач с параметром ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

При каком положительном значении p уравнения  3x² – 4px + 9 = 0  и  x² – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60996  (#06.073)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите такие многочлены P(x) и Q(x), что  (x + 1)P(x) + (x4 + 1)Q(x) = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60997  (#06.074)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При помощи метода неопределенных коэффициентов найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство
P(x)(x² – 3x + 2) + Q(x)(x² + x + 1) = 21.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60998  (#06.075)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите такие линейные функции  P(x)  и  Q(x),  чтобы выполнялось равенство   P(x)(2x³ – 7x² + 7x – 2) + Q(x)(2x³ + x² + x – 1) = 2x – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60999  (#06.076)

Тема:   [ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Сколько представлений допускает дробь    в виде суммы двух положительных дробей со знаменателями n и  n + 1?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .