Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
  а) 2012,
  б) 2013 плоскостей симметрии?
  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

Вниз   Решение


Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

ВверхВниз   Решение


Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .

ВверхВниз   Решение


Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трёхчленов  x² + bx + c  и  x² + ax + d  известно, что 0 < a < b < c < d.
Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

ВверхВниз   Решение


Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x81 + x27 + x9 + x³ + x  на
  a)  x – 1;
  б)  x² – 1.

ВверхВниз   Решение


В ребусе ТУР+ТУР+ТУР+...+ТУР=ТУРЛОМ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.

ВверхВниз   Решение


Решите уравнение:  x(x + 1) = 2014·2015.

ВверхВниз   Решение


Докажите следующие формулы:

an+1bn+1 = (a – b)(an + an–1b + ... + bn);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2na2n–1b + a2n–2b2 – ... + b2n).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



Задача 61000  (#06.077)

 [Схема Горнера]
Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Значение многочлена  Pn(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0    (an ≠ 0)  в точке  x = c  можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде  Pn(x) = (...(anx + an–1)x + ... + a1)x + a0.   Пусть  bn, bn–1, ..., b0  – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть  bn = anbk = cbk+1 + ak  (k = n – 1, ..., 0).  Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на  x – c  с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами  bn–1, ..., b1,  а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство:
Pn(x) = (x – c)(bnxn–1 + ... + b2x + b1) + b0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61001  (#06.078)

 [Формулы сокращенного умножения]
Тема:   [ Разложение на множители ]
Сложность: 2
Классы: 7,8,9

Докажите следующие формулы:

an+1bn+1 = (a – b)(an + an–1b + ... + bn);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2na2n–1b + a2n–2b2 – ... + b2n).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61002  (#06.079)

 [Формула Тейлора для многочленов]
Темы:   [ Теоремы Тейлора и приближения функций ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням  x – c:

P(x) = ck(x – c)k,

причем коэффициенты ck могут быть найдены по формуле

ck =         (0 k n).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61003  (#06.080)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пользуясь схемой Горнера, разложите  x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 1  по степеням  x + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61004  (#06.081)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Разложите  P(x + 3)  по степеням x, где  P(x) = x4x3 + 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .