Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В прямой угол вписана окружность. Хорда, соединяющая точки касания, равна 2. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Вниз   Решение


Пусть  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3n+1P(n + 1)|,  ...,  |31P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

ВверхВниз   Решение


На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

ВверхВниз   Решение


Найдите самое маленькое k, при котором k! делится на 2040.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b и c – три различных числа. Решите систему    

ВверхВниз   Решение


Автор: Рубин А.

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

ВверхВниз   Решение


В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

ВверхВниз   Решение


Целые числа a и b таковы, что  56a = 65b.  Докажите, что   a + b  – составное число.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x1, x2, ..., xn  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A1, A2, ..., An  – некоторые константы.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 141]      



Задача 61059  (#06.136)

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Системы линейных уравнений ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пусть a, b и c – три различных числа. Решите систему    

Прислать комментарий     Решение

Задача 61060  (#06.137)

Темы:   [ Системы линейных уравнений ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть a, b и c – три различных числа. Докажите, что из равенств
   
следует, что x = y = z = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61061  (#06.138)

Тема:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Про многочлен   f(x) = x10 + a9x9 + ... + a0  известно, что   f(1) = f(–1),  ...,   f(5) = f(–5).  Докажите, что   f(x) = f(– x)  для любого действительного x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64413  (#06.139)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3n+1P(n + 1)|,  ...,  |31P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61063  (#06.140)

Темы:   [ Рациональные функции (прочее) ]
[ Интерполяционный многочлен Лагранжа ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x1, x2, ..., xn  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A1, A2, ..., An  – некоторые константы.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 141]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .