Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.

   Решение

---

В стране из каждого города выходит 100 дорог и от каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт.
Докажите, что и теперь от каждого города можно добраться до любого другого.

   Решение

---

Докажите, что  a³ + b³ + 4  не является кубом целого числа ни при каких натуральных a и b.

   Решение

---

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник – равнобедренный?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 69]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64323

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

В десятичной записи числа ¹/₇ зачеркнули 2013-ю цифру после запятой (а другие цифры не меняли).
Как изменилось число: увеличилось или уменьшилось?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64324

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Даны два треугольника. Сумма двух углов первого треугольника равна некоторому углу второго. Сумма другой пары углов первого треугольника также равна некоторому углу второго. Верно ли, что первый треугольник – равнобедренный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64325

Темы:   [ Ребусы ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Имеет ли решение ребус  АПЕЛЬСИН – СПАНИЕЛЬ = 2012·2013?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107828

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Взвешивания ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108686

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Общие четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD.
Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 69]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями