Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях за точку $D$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, причем $DX=AB$ и $DY=BC$. Аналогично, точки $Z$ и $T$ лежат на продолжениях за точку $B$ сторон $CB$ и $AB$, причем $BZ=AD$ и $BT=DC$. Пусть $M_1$ – середина $XY$, $M_2$ – середина $ZT$. Докажите, что прямые $DM_1$, $BM_2$ и $AC$ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67541

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вневписанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $A'$, $B'$, $C'$ – ортоцентры треугольников $BIC$, $AIC$, $AIB$; $M_a$, $M_b$, $M_c$ – середины $BC$, $CA$, $AB$, а $S_a$, $S_b$, $S_c$ – середины $AA'$, $BB'$, $CC'$. Докажите, что $M_aS_a$, $M_bS_b$, $M_cS_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64392

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64399

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром O пересекает ω₁ в точках A и B, а ω₂ – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64406

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Средняя линия трапеции ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Из точки H провели перпендикуляры к прямым B₁C₁ и A₁C₁, которые пересекли лучи CA и CB в точках P и Q соответственно. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую A₁B₁, проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64462

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть BD – биссектриса треугольника ABC. Точки I_a, I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABD, CBD. Прямая I_aI_c пересекает прямую AC в точке Q. Докажите, что  ∠DBQ = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями