На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.

   Решение

а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.

б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

   Решение

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

   Решение

Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)

   Решение

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем  A_n+1 = A₁).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

   Решение

Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади одной клеточки?

   Решение

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.
Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

   Решение

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

   Решение

Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Каждый квадрат (кроме крайних) соединён с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба 3×3×3?

   Решение

Верно ли, что на графике функции  y = x³  можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превысит ¹/₁₀₀?

   Решение

На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.

   Решение

а) Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
б) Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в том же классе?

   Решение

Прямые AM и AN симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC (точки M и N лежат на прямой BC). Докажите, что  BM ^. BN/(CM ^. CN) = c²/b². В частности, если AS — симедиана, то  BS/CS = c²/b².

   Решение

Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.

   Решение

a) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны.

б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумали по четыре натуральных числа?

   Решение

Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что в любом выпуклом $1001$-угольнике сумма длин любых $k$ диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.

   Решение

Коля и Вася за ноябрь получили по 15 оценок: тройки, четвёрки и пятёрки. При этом Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, а троек столько же, сколько Вася пятёрок. Оказалось, что средний балл за ноябрь у мальчиков одинаковый. Сколько троек получил Коля в ноябре?

   Решение

Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

Бумажный треугольник, один из углов которого равен α, разрезали на несколько треугольников. Могло ли случиться, что все углы всех полученных треугольников меньше α
  а) в случае, если  α = 70°;
  б) в случае, если  α = 80°?

Прислать комментарий

Решение

На числовой прямой в точке P сидит точечный кузнечик. Точки 0 и 1 – ловушки. На каждом ходу мы называем любое положительное число, после чего кузнечик прыгает влево или вправо (по своему выбору) на расстояние, равное этому числу. Для каких P можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

Прислать комментарий

Решение

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

Прислать комментарий

Решение

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий

Решение

Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]