Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 64918 (#16)

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть M – середина гипотенузы AB, O – центр описанной окружности ω треугольника CMB. Прямая AC вторично пересекает окружность ω в точке K. Прямая KO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что прямые AL и KM пересекаются на описанной окружности треугольника ACM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64919 (#17)

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Рожкова М.

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64920 (#18)

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64921 (#19)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Формула Эйлера	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки C одной окружности проведены к другой касательные CA, CB, вторично пересекающие первую окружность в точках B', A'. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке Z. Найдите угол XZY.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64922 (#20)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Фельдман Г.

В треугольнике ABC на стороне AB отметили точку D. Пусть ω₁ и Ω₁, ω₂ и Ω₂ – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся AB во внутренней точке) окружности треугольников ACD и BCD. Докажите, что общие внешние касательные к ω₁ и ω₂, Ω₁ и Ω₂ пересекаются на прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]