Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

   Решение

---

На столе лежат в ряд пять монет: средняя – орлом вверх, а остальные – решкой вверх. За одну операцию разрешается одновременно перевернуть ровно три монеты, лежащие рядом. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, добиться того, чтобы все пять монет лежали орлом вверх?

   Решение

---

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

   Решение

---

Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65023  (#22)

Темы:   [ Кривые второго порядка ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Окружность с центром F и парабола с фокусом F пересекаются в двух точках.
Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65024  (#23)

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Птолемея ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FA,  CD·EB = 2DE·BC,  EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65025  (#24)

Темы:   [ Перпендикулярные прямые в пространстве ] [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65026  (#25)

Темы:   [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 11

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.
Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями