Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 65800 (#12)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Новиков И.Д.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB₁ – его симедиана, луч BB₁ вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC, а луч BH_B вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки H_A, H_C, T, L лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65801 (#13)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65802 (#14)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65803 (#15)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Прислать комментарий Решение

Задача 65809 (#16)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Центр поворотной гомотетии	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Доледенок А.В.

BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB₁C₁ в точках B₁ и C₁ пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB₁C₁ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]