Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
>>
8 класс
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.
Дан кубический многочлен f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел (a, b, c), что f(a) = b, f(b) = c и f(c) = a. Известно, что нашлись восемь циклов (ai, bi, ci), i = 1, 2, ..., 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида ai + bi + ci есть хотя бы три различных.
Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что PQ ⊥ AC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.
Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?
Прямая отрезает от правильного n-угольника со стороной 1 треугольник APQ так, что AP + AQ = 1 (A – вершина n-угольника).
Найдите сумму углов, под которыми отрезок PQ виден из всех вершин n-угольника, кроме A.
На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 66252 (#8.1) |
|
|
В треугольнике ABC высота AH делит медиану BM пополам.
Докажите, что из медиан треугольника ABM можно составить прямоугольный треугольник.
|
|
Решение |
Задача 66253 (#8.2) |
|
Описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны AD и CD параллелограмма ABCD в точках K и L. Пусть M – середина дуги KL, не содержащей точку B. Докажите, что DM ⊥ AC.
|
|
|
Решение |
Задача 66254 (#8.3) |
|
Даны трапеция ABCD и перпендикулярная её основаниям AD и BC прямая l. По l движется точка X. Перпендикуляры, опущенные из A на BX и из D на CX пересекаются в точке Y. Найдите ГМТ Y.
|
|
|
Решение |
Задача 66255 (#8.4) |
|
|
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
|
|
Решение |
Задача 66256 (#8.5) |
|
|
На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
