Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть BHb, CHc – высоты треугольника ABC. Прямая HbHc пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.

Вниз   Решение


Автор: Иванов К.

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что  

ВверхВниз   Решение


С левого берега реки на правый с помощью одной лодки переправились N туземцев, каждый раз плавая направо вдвоем, а обратно – в одиночку. Изначально каждый знал по одному анекдоту, каждый – свой. На берегах они анекдотов не рассказывали, но в лодке каждый рассказывал попутчику все известные ему на данный момент анекдоты. Для каждого натурального k найдите наименьшее возможное значение N, при котором могло случиться так, что в конце каждый туземец знал, кроме своего, еще не менее чем k анекдотов.

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой) касается сторон АВ, ВС и СА в точках С1, А1, В1 соответственно. Высоты треугольника А1В1С1 пересекаются в точке D. Найдите расстояние между точками C и D, если длины катетов треугольника АВС равны 3 и 4.

ВверхВниз   Решение


На сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС  (АВ = АС)  соответственно отмечены точки Ми N так, что  АN > AM.  Прямые MN и ВС пересекаются в точке K. Сравните длины отрезков MK и MB.

ВверхВниз   Решение


На некоторые клетки квадратной доски 4×4 выкладывают стопкой золотые монеты, а на остальные клетки – серебряные. Можно ли положить монеты так, чтобы в каждом квадрате 3×3 серебряных монет было больше, чем золотых, а на всей доске золотых было больше, чем серебряных?

ВверхВниз   Решение


Автор: Mudgal A.

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

ВверхВниз   Решение


Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

ВверхВниз   Решение


Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что  AP = BQ.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 66313  (#9.8)

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что  AP = BQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66321  (#10.8)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Четность и нечетность ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10

На плоскости дано множество S, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что S можно разбить на два множества X и Y так, что выпуклые оболочки  conv X  и  conv Y  имеют поровну вершин.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66212  (#9)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В прямоугольном треугольнике ABC точка C0 – середина гипотенузы AB, AA1, BB1 – биссектрисы, I – центр вписанной окружности.
Докажите, что прямые C0I и A1B1 пересекаются на высоте CH.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66213  (#10)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки K и L соответственно так, что  ∠AKD = ∠CLD.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника BKL равноудален от A и C.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66214  (#11)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .