Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 915]

Задача 66675

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Науменко Г.

Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$. Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$. Докажите, что прямые $CX$, $BY$, и $AP$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66677

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Mudgal A.

Дана окружность $\omega$ и ее хорда $BC$. Точка $A$ движется по большей из дуг $BC$. Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$, $D$, $E$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$, что $H$ – середина отрезка $DE$, $O_A$ – центр описанной окружности треугольника $ADE$. Докажите, что все точки $O_A$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66784

Темы:	[	Радикальная ось	]
Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Плотников М.

В треугольнике $ABC$ $AH_1$ и $BH_2$ – высоты; касательная к описанной окружности в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $S_1$, а касательная в точке $B$ пересекает $AC$ в точке $S_2$; $T_1$ и $T_2$ – середины отрезков $AS_1$ и $BS_2$. Докажите, что $T_1T_2$, $AB$ и $H_1H_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66786

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Белухов Н., Заславский А.А.

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66802

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 915]