Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 66918 (#6 [8-9 кл])

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Акопян А.В.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 66919 (#7 [8-9 кл])

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Стародуб В.

Докажите, что точки пересечения средних линий треугольника $ABC$ со сторонами треугольника, вершинами которого являются центры вневписанных окружностей, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66920 (#8 [8-9 кл])

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Рябов П.

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $R$. Через точку $P$ проведены прямые $l_1$, $l_2$. Прямая $l_1$ вторично пересекает окружности в точках $A_1$ и $B_1$. Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника $A_1RB_1$ пересекаются в точке $C_1$. Прямая $C_1R$ пересекает $A_1B_1$ в точке $D_1$. Аналогично определены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$. Докажите, что окружности $D_1D_2P$ и $C_1C_2R$ касаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 66921 (#9 [8-9 кл])

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Филипповский Г.Б.

Постройте треугольник $ABC$ по вершине $A$, центру описанной окружности $O$ и прямой Эйлера, если известно, что прямая Эйлера отсекает на сторонах $AB$ и $AC$ равные отрезки от вершины $A$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66922 (#10 [8-9 кл])

Темы:	[	Ломаные	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Иванищук А.В.

Дана замкнутая ломаная $A_1A_2\dots A_n$ и окружность $\omega$, которая касается каждой из прямых $A_1A_2, A_2A_3,\dots, A_nA_1$. Звено ломаной называется хорошим, если оно касается окружности, и плохим в противном случае (т.е. если продолжение этого звена касается окружности). Докажите, что плохих звеньев четное количество.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]