Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 67206 (#1 [8 кл])

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Марданов А.

Пусть $L$ – середина меньшей дуги $AC$ описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Из вершины $B$ на касательную к описанной окружности, проведённую в точке $L$, опустили перпендикуляр $BP$. Докажите, что точки $P$, $L$ и середины сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67207 (#2 [8 кл])

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Москвитин Н.А.

Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67208 (#3 [8 кл])

Темы:	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Мухин Д.Г.

Окружность касается боковых сторон трапеции $ABCD$ в точках $B$ и $C$, а её центр лежит на $AD$. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.

Прислать комментарий Решение

Задача 67209 (#4 [8 кл])

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $\angle BED = 3\angle BDE$. Точка $D'$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Докажите, что прямая $D'E$ проходит через точку пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67210 (#5 [8 кл])

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кухарчук И.

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. На сторонах $AD$ и $CD$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $AE=BC$ и $AB=CF$. Пусть $M$ – середина $EF$. Докажите, что угол $AMC$ прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]