Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]

Задача 67226 (#21 [10-11 кл])

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Михайлов И.

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Пусть $M_{ac}$ – середина диагонали $AC$; $H_d$, $H_b$ – ортоцентры треугольников $ABC$, $ADC$ соответственно; $P_d$, $P_b$ – проекции $H_d$ и $H_b$ на $BM_{ac}$ и $DM_{ac}$ соответственно. Аналогично определим $P_a$, $P_c$ для диагонали $BD$. Докажите, что $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67227 (#22 [10-11 кл])

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Mudgal A., Srivastava P.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$, $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$, а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Докажите, что $MX=MY$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67228 (#23 [10-11 кл])

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$, а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$. Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67229 (#24 [11 кл])

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Радикальная плоскость	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Tran Quang Hung

Дан тетраэдр $ABCD$. Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ в точках $D_0$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$, $PB_0$, $PC_0$, $PD_0$ со сферами $PBCD$, $PCDA$, $PDAB$, $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67230 (#8.1)

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Точка $D$ лежит на основании $AB$ равнобедренного тупоугольного треугольника $ABC$ так, что отрезок $AD$ равен радиусу описанной окружности треугольника $BCD$. Найдите угол $ACD$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]