ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 67236  (#8.7)

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ при продолжении пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $W$. Окружность $s$, построенная на отрезке $AH$ как на диаметре ($H$ – ортоцентр в треугольнике $ABC$), пересекает $\omega$ в точке $P$. Восстановите треугольник $ABC$, если остались точки $A$, $P$, $W$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67237  (#8.8)

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точке $A$, и прямая $a$. Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$, параллельная $a$, а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67238  (#9.1)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67239  (#9.2)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Наглядная геометрия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Юран А.Ю.

Можно ли поместить правильный треугольник внутрь правильного шестиугольника так, чтобы из любой вершины шестиугольника были видны все три вершины треугольника? (Точка $A$ видна из точки $B$, если отрезок $AB$ не содержит внутренних точек треугольника.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 67240  (#9.3)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бибиков П.

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .