Версия для печати
Убрать все задачи

---

Известно, что каждый прямоугольный параллелепипед обладает свойством: квадрат его объёма равен произведению площадей трёх его граней, имеющих общую вершину. А существует ли параллелепипед, который обладает этим же свойством, но не является прямоугольным?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67491  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Процессы и операции ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67492  (#2)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Клетчатую доску $20\times 20$ разбили на двухклеточные доминошки. Докажите, что некоторая прямая содержит центры хотя бы десяти из этих доминошек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67493  (#3)

Темы:   [ Объем параллелепипеда ] [ Неравенства с объемами ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Известно, что каждый прямоугольный параллелепипед обладает свойством: квадрат его объёма равен произведению площадей трёх его граней, имеющих общую вершину. А существует ли параллелепипед, который обладает этим же свойством, но не является прямоугольным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67494  (#4)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существует ли такая бесконечная последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., что $a_1 = 1$ и для всех натуральных $k$ выполняется равенство $$a_k = a_{2k} + a_{3k} + a_{4k} + \ldots ?$$

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67495  (#5)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями