Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 62]

Задача 78214 (#М24)

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73560 (#М25)

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Правило произведения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2^n–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.
Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Прислать комментарий Решение

Задача 73561 (#М26)

Тема:

[

Характеристические свойства и рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через f(x, y) номер первой из задач x-го номера за y-й год. Напишите общую формулу для f(x, y), где 1 £ x £ 12 и 1970 £ x £ 1989. Решите уравнение f(x, y) = y.

Например, f(6, 1970) = 26. Начиная с 1989 года, количество задач стало менее предсказуемым. Например, в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других номерах по 10. Да и самих номеров журнала сейчас уже не 12, а 6.

Прислать комментарий Решение

Задача 73562 (#М27)

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Если сумма дробей равна 0, то сумма дробей тоже равна 0. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78595 (#М28)

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 62]