Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]

Задача 52519 (#М256)

Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73792 (#М257)

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При каких натуральных n ≥ 2 неравенство выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
а) p = 1;
б) p = ⁴/₃;
в) p = ⁶/₅?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73794 (#М259)

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Григорян А.

Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в
а) квадрате 5×5;
б) прямоугольнике m×n клеток?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73795 (#М260)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 7-
Классы: 8,9,10

Автор: Гуревич Г.А.

Окружность разбита точками A₁, A₂,..., A_n на n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги A₂A₆ и A₆A₁₀ одинаково окрашены.)

Докажите, что если для каждой точки разбиения A_k можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом A_k, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.

Прислать комментарий Решение

Задача 73797 (#М262)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Рабинович В., Рабинович Л.

Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]