Версия для печати
Убрать все задачи

---

Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).
   б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов T_k(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T₄(n) и T₅(n).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73799  (#М264)

Темы:   [ Ориентированные графы ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В городе одна синяя площадь и n зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2n улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой – уехать. Докажите, что с каждой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34846  (#М267)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В последовательности троек целых чисел  (2, 3, 5),  (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73803  (#М268)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – n×n, где  n > 3)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73804  (#М269)  [Числа Стирлинга]

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).
   б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов T_k(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T₄(n) и T₅(n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73806  (#М271)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями