Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Решениеа) Докажите, что многочлен P(x) = (cos φ + x sin φ)n – cos nφ – x sin nφ делится на x2 + 1.
б) Докажите, что многочлен Q(x) = xnsin φ – ρn–1xsin nφ + ρnsin(n – 1)φ делится на x2 – 2ρxcos φ + ρ2.
РешениеДва n-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.
Решение2n = 10a + b. Доказать, что если n > 3, то ab делится на 6. (n, a и b – целые числа, b < 10.)
Решение
Задачи
Задача 31256 (#26) |
|
|
Доказать, что n-е простое число больше 3n при n > 12.
|
|
Решение |
Задача 78029 (#27) |
|
|
2n = 10a + b. Доказать, что если n > 3, то ab делится на 6. (n, a и b – целые числа, b < 10.)
|
|
|
Решение |
Задача 60459 (#28) |
|
|
Докажите, что множество простых чисел вида p = 4k + 3 бесконечно.
|
|
|
Решение |
Задача 31259 (#29) |
|
|
В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.
Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?
|
|
|
Решение |
Задача 30608 (#30) |
|
|
Пусть натуральное число n таково, что n + 1 делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]
