Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

   Решение

---

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?

   Решение

---

Существует ли такое натуральное x, что  x² + x + 1  делится на 1985?

   Решение

---

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

   Решение

---

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

   Решение

---

В каком из выражений:  (1 – x² + x³)¹⁰⁰⁰,   (1 + x² – x³)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x²⁰?

   Решение

---

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

   Решение

---

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.

   Решение

---

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = ⁵/₉ BD.
Найдите площадь треугольника.

   Решение

---

Найти все действительные решения системы
   x³ + y³ = 1,
   x⁴ + y⁴ = 1.

   Решение

---

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда  ax² + bx + c = (dx + e)².

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78047  (#1)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда  ax² + bx + c = (dx + e)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78048  (#2)

Темы:   [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78049  (#3)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA₁, ..., OA_n.
  а) При  n = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A₁OA₂, ..., A_nOA₁ одинакова.
  б) Доказать, что при  n = 10  такой нумерации осуществить нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78050  (#4)

Тема:   [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Неравенство

где a > 0, b > 0, c > 0 — данные числа, выполняется для всех A > 0, B > 0, C > 0. Можно ли из отрезков a, b, c составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78051  (#5)

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа , , ..., тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями