Версия для печати
Убрать все задачи
В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.
Решение
Имеется несколько кучек камней.
Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять
из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную
стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а)
выигрывает; б) проыигрывает.
Решение
2n = 10a + b. Доказать, что если n > 3, то ab делится на 6. (n, a и b – целые числа, b < 10.)
Решение
На плоскости даны три параллельные прямые.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.
Решение
Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной)
суммы обратных величин попарно различных целых чисел.
Решение
Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2,
A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.
Решение
В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем.
Определить это число.
Решение
a, b и
n – натуральные числа, и
n нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби
делятся на
n, то и сама дробь делится на
n.
Решение
Фильтр
