Дано натуральное число $N$. Вера делает с ним следующие операции: сначала прибавляет 3 до тех пор, пока получившееся число не станет делиться на 5 (если изначально $N$ делится на 5, то ничего прибавлять не надо). Получившееся число Вера делит на 5. Далее делает эти же операции с новым числом, и так далее. Из каких чисел такими операциями нельзя получить 1?

   Решение

Федя К. вышел из некоторой точки, прошел 1км на север, затем - 1км на восток, затем - 1км на юг и вернулся в исходную точку.
  а) Где такое могло произойти?
  б) Найдите все такие точки на Земле.

   Решение

Пусть a, b, c — длины сторон треугольника; A, B, C — величины противоположных углов. Докажите, что

Aa + Bb + CcAb + Ba + Ac + Ca + Bc + Cb.

   Решение

Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

   Решение

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.

   Решение

На клетчатой бумаге изобразите шестиугольник, который можно одним прямолинейным разрезом разделить на четыре равных треугольника. Покажите, как это можно сделать. (Вершины многоугольника должны располагаться в узлах сетки, но стороны и разрез не обязательно проводить по линиям сетки.)

   Решение

Если число     – целое, то и число     – целое. Доказать.

   Решение

У Кати и Маши расчёски одинаковой длины. У каждой расчёски все зубчики одинаковые, а расстояния между зубчиками равны ширине зубчика. В Катиной расчёске 11 зубчиков (см. рис.). Сколько зубчиков в Машиной расчёске, если они в пять раз уже зубчиков Катиной расчёски?

   Решение

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

   Решение

За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

Имеется 555 гирь весом: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г,...555 г. Разложить их на 3 равные по весу кучи.

   Решение

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Каково наибольшее n, при котором так можно расположить n точек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?

Прислать комментарий

Решение

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.

Прислать комментарий

Решение

Улитка ползёт с непостоянной скоростью. Несколько человек наблюдало за ней по очереди в течение 6 минут. Каждый начинал наблюдать раньше, чем кончал предыдущий, и наблюдал ровно 1 минуту. За эту минуту улитка проползла ровно 1 м. Доказать, что за все 6 минут улитка могла проползти самое большее 10 м.

Прислать комментарий

Решение

Дан пятиугольник ABCDE. AB = BC = CD = DE, B = D = 90^o. Доказать, что пятиугольниками, равными данному, можно замостить плоскость.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]