Версия для печати
Убрать все задачи

---

На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)

   Решение

---

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45^o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78473

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Даны выпуклый четырёхугольник ABCD площади s и точка M внутри него. Точки P, Q, R, S симметричны точке M относительно середин сторон четырёхугольника ABCD. Найти площадь четырёхугольника PQRS.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78478

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

a, b, c – любые положительные числа. Доказать, что   + + ≥ ³/₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78479

Тема:   [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45^o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78484

Тема:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 10

Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78492

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями