Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае?

Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Решение

а) Докажите, что если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

б) Докажите, что если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Решение

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n².

Решение

Числа в вершинах

В неориентированном графе без кратных ребер и петель
расставить в вершинах числа так, чтобы если вершины
соединены ребром, то числа имели общий делитель, а если нет - то нет.

Входные данные.
В файле INPUT.TXT записано число N (0<N<7) - количество вершин в графе.
Затем записана матрица смежности.

Выходные данные.
В файл OUTPUT.TXT вывести N натуральных чисел из диапазона Longint,
которые вы предлагаете приписать вершинам.

Пример файла INPUT.TXT	
3
0 1 1
1 0 0
1 0 0	

Пример файла OUTPUT.TXT
6 2 3

Решение

Авторы: Богданов И.И., Скопенков А.Б.

В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?

Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.

Решение

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что AKLB — ромб.

Решение

Даны n комплексных чисел C₁, C₂,..., C_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

Решение

Пусть ABCD — пространственный четырёхугольник, точки K₁ и K₂ делят соответственно стороны AB и DC в отношении $\alpha$ , точки K₃ и K₄ делят соответственно стороны BC и AD в отношении $\beta$ . Доказать, что отрезки K₁K₂ и K₃K₄ пересекаются.

Решение

Докажите, что числа p и p + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Решение

Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку A , не принадлежащую плоскости π , и образующие равные углы с этой плоскостью (углы, отличные от нуля). Найдите геометрическое место точек пересечения этих прямых с плоскостью π .

Решение

Автор: Алексеев В.Б.

P и Q – подмножества множества выражений вида (a₁, a₂, ..., a_n), где a_i – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kⁿ). Для каждого элемента (p₁, ..., p_n) множества P и каждого элемента (q₁, ..., q_n) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что p_m = q_m. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^n–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.

Решение

Дан треугольник ABC. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.

Решение

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Решение

Задача 79342 (#1)

Задача 79343 (#2)

Задача 79341 (#3)

Задача 79344 (#4)

Задача 79345 (#5)