Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]

Задача 79493

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
Темы:	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Прислать комментарий Решение

Задача 79498

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79501

Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Прислать комментарий Решение

Задача 79504

Тема:

[

Возрастание и убывание. Исследование функций

]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Найдите минимум по всем α, β максимума функции

y(x) = |cos x + α cos 2x + β cos 3x|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79499

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]