Версия для печати
Убрать все задачи

---

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

   Решение

---

На квадратный лист бумаги со стороной a посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Оказалось, что каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы. Докажите, что суммарная площадь клякс не больше a.

   Решение

---

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

   Решение

---

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65575

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Метод координат на плоскости ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

На графике квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86102

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65546

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма каждых десяти подряд стоящих чисел делилась на 10?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65547

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В ящике лежат 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика различных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись три шарика различных цветов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65548

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Степень вершины ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил n билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X – это либо A, либо B

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями