Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков,
параллельных его сторонам, причем эти отрезки могут пересекать
друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь
одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше 0,01.
Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок [0, 1] разбит на p + q одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из p + q – 2 чисел 1/p, 2/p, ..., p–1/p, 1/q, 2/q, ..., q–1/q.
Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника F
эквивалентны: 1) F имеет центр симметрии;
2) F можно разрезать на параллелограммы.
Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя).
Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан
на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по
крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей
всех прямоугольников равна 2.
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно
разрезать на неравные треугольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на
неравные правильные треугольники.
Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б)
на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?
Докажите, что если в наборе целых чисел a1, ..., an хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 86100 (#1) |
|
|
Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения a²b² + a² + b² + 1 = 2005.
|
|
Решение |
Задача 86101 (#2) |
|
|
Клетчатый бумажный квадрат 8×8 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1×1. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон квадратика. На сколько частей мог при этом распасться квадрат?
|
|
|
Решение |
Задача 86102 (#3) |
|
|
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
|
|
|
Решение |
Задача 86103 (#4) |
|
|
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
|
|
Решение |
Задача 86104 (#5) |
|
|
Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
