Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8, а высота равна 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через одну из сторон основания и середину противоположного бокового ребра.

Решение

Радиус окружности равен 25; две параллельные хорды равны 14 и 40. Найдите расстояние между ними.

Решение

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

Шестизначное число делится на 37 и имеет хотя бы две различные цифры. Его первая и четвёртая цифры – не нули.
Докажите, что, переставив цифры в данном числе, можно получить другое число, тоже кратное 37 и не начинающееся с нуля.

Решение

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , а расстояние между противоположными рёбрами равно . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ – параллелограммы.

Решение

а) Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.
б) Каждые две из девяти ЭВМ соединены своим проводом. Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из восьми цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило восемь проводов разного цвета?

Решение

30 команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу.
Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

Решение

Существуют ли а) 5, б) 6 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию?

Решение

Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 1 : 3.
Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Решение

На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём MN || AB и MN = AM.
Найдите угол BAN, если ∠B = 45° и ∠C = 60°.

Решение

Авторы: Ященко И.В., Голенищева-Кутузова Т.И.

Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

{ cos x=ax+b

sin x+a=0

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Решение

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a , а расстояние между диагональю основания и скрещивающимся с ней боковым ребром равно . Найдите радиус описанной сферы.

Решение

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , а расстояние между противоположными рёбрами равно . Найдите радиус вписанной сферы.

Решение

Задача 86899

Задача 86900

Задача 86901

Задача 86903

Задача 86904