ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Туры:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?
Каким линейным рекуррентным соотношениям
удовлетворяют последовательности
Окружность, касающаяся сторон AC и BC
треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной
окружности (внутренним образом). Докажите, что середина
отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности
треугольника ABC.
Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром. Докажите, что при a, b, c имеет место неравенство Докажите, что Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что BK·AB = BO² и Числовая функция f такова, что для любых x и y выполняется равенство f(x + y) = f(x) + f(y) + 80xy. Найдите f(1), если f(0,25) = 2. ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Докажите, что
ma2 + mb2 > 29r2.
Выпуклая фигура
Найдите формулу n-го члена для
последовательностей, заданных условиями (
n
В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что BD = BC. Найдите CD, если AD = 4.
Сумма углов n-угольника.
Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.
Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике
равна (n - 2) Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2, S3. Найдите площадь S данного треугольника. Существуют ли такие натуральные числа a1 < a2 < a3 < ... < a100, что НОК(a1, a2) > НОК(a2, a3) > ... > НОК(a99, a100)? |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]
В каждой клетке таблицы (n–2)×n (n > 2) записано целое число от 1 до n, причём в каждой строке все числа различны и в каждом столбце все числа различны. Докажите, что эту таблицу можно дополнить до квадрата n×n, записав в каждую новую клетку какое-нибудь целое число от 1 до n так, чтобы по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце числа были различны.
Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на 2n – 1 треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.
Саша выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую – куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечётное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить?
Существуют ли такие натуральные числа a1 < a2 < a3 < ... < a100, что НОК(a1, a2) > НОК(a2, a3) > ... > НОК(a99, a100)?
Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 45]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке