Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Используя формулу Муавра, докажите, что  cos nx = T_n(cos x),  sin nx = sin x U_n–1(cos x),  где T_n(z) и U_n(z) – многочлены степени n.
При этом по определению  U₀(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

  Многочлены T_n(z) и U_n(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.

   Решение

---

Пусть  z = e^2πi/n = cos ^2π/_n + i sin ^2π/_n.  Для произвольного целого a вычислите суммы
  а)  1 + z^a + z^2a + ... + z^(n–1)a;
  б)  1 + 2z^a + 3z^2a + ... + nz^(n–1)a.

   Решение

---

Докажите, что

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

   Решение

---

У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.

   Решение

---

Пусть числа a и b определены равенством  ^a/_b = [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].  Докажите, что уравнение  ax – by = 1  c неизвестными x и y имеет решением одну из пар  (Q_n–1, P_n–1)  или  (– Q_n–1, – P_n–1),  где  ^P_n–1/_Qn–1  – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?

   Решение

---

В треугольнике ABC из вершины C проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной AB угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны AB вторая биссектриса?

   Решение

---

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

   Решение

---

Может ли некоторое сечение куба быть правильным пятиугольником?

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61167  (#08.006)

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Квадратные корни (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Решите уравнения при 0^o < x < 90^o:

a)  + = 2;

б)  + = ;

в)  + = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61168  (#08.007)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61169  (#08.008)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите равенство:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61170  (#08.009)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Многочлены (прочее) ] [ Формула Герона ] [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61171  (#08.010)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Разложение на множители ] [ Формула Герона ] [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам  5 ≤ x, y, z ≤ 8.
Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  S = 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² – x⁴ – y⁴ – z⁴ ?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями