Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 931 932 933 934 935 936 937 >> [Всего задач: 6702]

Задача 115592

[Геометрический смысл классических неравенств]

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Основания BC и AD трапеции ABCD равны a и b. Проведены четыре прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции, и расположите найденные величины по возрастанию.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115615

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C₁, B₁, A₁ соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115649

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 1 пересекаются в точке O. Две окружности, пересекающие основание BC в точках K и L соответственно, касаются друг друга в точке O, а прямой AD – в точках A и D соответственно. Найдите AK² + DL².

Прислать комментарий

Решение

Задача 115651

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Через центр O окружности, описанной около неравнобедренного треугольника ABC, проведены прямые, перпендикулярные сторонам AB и AC. Эти прямые пересекают высоту AD треугольника ABC в точках P и Q. Точка M – середина стороны BC, а S – центр описанной окружности треугольника OPQ. Докажите, что ∠BAS = ∠CAM.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115652

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка K, лежащая на биссектрисе угла BAC. Прямая CK вторично пересекает описанную окружность ω треугольника ABC в точке M. Окружность Ω проходит через точку A, касается прямой CM в точке K и пересекает вторично отрезок AB в точке P, а окружность ω – в точке Q. Докажите, что точки P, Q и M лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 931 932 933 934 935 936 937 >> [Всего задач: 6702]