Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 933 934 935 936 937 938 939 >> [Всего задач: 6702]

Задача 115720

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Найдите углы этого треугольника, если известно, что он подобен треугольнику A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115905

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Из точек A₁, B₁ и C₁, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.
Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда C₁A² – C₁B² + A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115906

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115908

Темы:	[	Теорема Карно	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A₁, B₁ и C₁ – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115909

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Карно	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 933 934 935 936 937 938 939 >> [Всего задач: 6702]