Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 >> [Всего задач: 6702]

Задача 52396

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или её продолжения). Докажите, что $\angle$ BPC = 90^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 52422

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда $\angle$ C = 90^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 52476

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D; N — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите:

1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;

2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N.

Прислать комментарий Решение

Задача 52477

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Продолжение общей хорды AB двух пересекающихся окружностей радиусов R и r пересекает их общую касательную в точке C (A между B и C, M и N — точки касания). Найдите:

1) радиус окружности, проходящей через точки A, M и N;

2) отношение расстояний от точки C до прямых AM и AN.

Прислать комментарий Решение

Задача 52486

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол C — тупой. На стороне AB отмечены точки E и H, на сторонах AC и BC — точки K и M соответственно. Оказалось, что AH = AC, BE = BC, AE = AK, BH = BM. Докажите, что точки E, H, K, M лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 >> [Всего задач: 6702]