Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 176]
Задача
56911
(#05.068)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9
|
а) Через точки P и Q проведены тройки прямых.
Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис.
Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или
параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка
пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.
Задача
56912
(#05.069)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9
|
На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1
и C1. Пусть P1 — произвольная точка прямой BC,
P2 — точка пересечения прямых P1B1 и AB, P3 — точка
пересечения прямых P2A1 и CA, P4 — точка
пересечения
P3C1 и BC и т. д. Докажите, что точки P7 и P1
совпадают.
Задача
56913
(#05.069.1)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9
|
Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются
в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и
FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка
пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых
A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной
прямой.
Задача
56914
(#05.070)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA
взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах
треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки
A1,
B1 и
C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда
R = 1 и
k четно (Менелай);
б) прямые
AA1,
BB1 и
CC1 пересекаются в одной точке или
параллельны тогда и только тогда, когда
R = 1 и
k нечетно
(Чева).
Задача
56915
(#05.071)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9
|
Вписанная (или вневписанная) окружность
треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A1, B1
и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 176]
Фильтр
