Страница:
<< 2 3 4 5 6
7 8 >> [Всего задач: 38]
На доске написано несколько целых положительных чисел: a0, a1, a2, ... , an. Пишем на другой доске следующие числа: b0 – сколько всего чисел на первой доске, b1 – сколько там чисел, больших единицы, b2 – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c0, c1, c2, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b0, b1, b2, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8
|
На плоскости нарисован чёрный равносторонний треугольник. Имеется девять
треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на
плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя
бы часть чёрного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?
Отрезок AB пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A проводятся касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B – касательные к окружности, ближайшей к B. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то
разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой
коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов
такого выбора есть ненулевая степень двойки.
Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое
число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты
можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму
в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.
Страница:
<< 2 3 4 5 6
7 8 >> [Всего задач: 38]
Фильтр
