Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
В бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1,
а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an–1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an–1 – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встречается бесконечно много раз;
б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)
РешениеПо кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). За один ход разрешается взять все шарики из любой коробочки и разложить их, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.
а) Докажите, что если на каждом следующем ходе шарики берут из той коробочки, в которую попал последний шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повторится начальное размещение шариков.
б) Докажите, что за несколько ходов из любого начального размещения шариков по коробочкам можно получить любое другое.
РешениеДан равносторонний треугольник ABC. Из его внутренней точки M опущены перпендикуляры MA', MB', MC' на стороны.
Найдите геометрическое место точек M, для которых треугольник A'B'C' – прямоугольный.
РешениеЕсть шесть монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен).
Как за три взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?
Решение
Задачи
Задача 107987 |
|
|
Каждой паре чисел x и y поставлено в соответствие некоторое число x*y. Найдите 1993*1935, если известно, что для любых трёх чисел x, y, z выполнены тождества: x*x = 0 и x*(y*z) = (x*y) + z.
|
|
Решение |
Задача 107990 |
|
|
Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхгаузена построил квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из восьми оставшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойти все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой?
|
|
|
Решение |
Задача 107984 |
|
|
Найдите x1000, если x1 = 4, x2 = 6, и при любом натуральном n ≥ 3 xn – наименьшее составное число, большее 2xn–1 – xn–2.
|
|
|
Решение |
Задача 107994 |
|
|
На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы OM + ON, когда угол ACB меняется.
|
|
|
Решение |
Задача 107996 |
|
|
Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
