Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 570 571 572 573 574 575 576 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56670

Тема:

[

Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих

]

Сложность: 4
Классы: 8

Даны окружность S и точки A и B вне ее. Для каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность S в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольника BMN. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки B.

Прислать комментарий Решение

Задача 56671

Тема:

[

Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих

]

Сложность: 4
Классы: 8

Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хорды AB. Для каждой окружности S', касающейся хорды AB в точке C и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S'.

Прислать комментарий Решение

Задача 56678

Тема:

[

Касающиеся окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а окружность с диаметром AB — в точках M и N. Докажите, что KM = LN.

Прислать комментарий Решение

Задача 56679

Тема:

[

Касающиеся окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 56680

Тема:

[

Касающиеся окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. Пусть a, b и c — радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, что 1/ $\sqrt{c}$ = 1/ $\sqrt{a}$ + 1/ $\sqrt{b}$ .
б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы, $\alpha$ = 1/a, $\beta$ = 1/b, $\gamma$ = 1/c и $\delta$ = 1/d. Докажите, что 2( $\alpha^{2}_{}$ + $\beta^{2}_{}$ + $\gamma^{2}_{}$ + $\delta^{2}$ ) = ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ + $\delta$ )².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 570 571 572 573 574 575 576 >> [Всего задач: 4557]