Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 569 570 571 572 573 574 575 >> [Всего задач: 4557]

Задача 56625

Тема:

[

Три окружности пересекаются в одной точке

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56628

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Прислать комментарий Решение

Задача 56636

Тема:

[

Вписанный угол (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.
б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.

Прислать комментарий Решение

Задача 56660

Тема:

[

Прямые, касающиеся окружностей

]

Сложность: 4
Классы: 7,8

Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что AB + BC = AD + DC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56661

Тема:

[

Прямые, касающиеся окружностей

]

Сложность: 4
Классы: 7,8

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что AC^.CB = Rr.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 569 570 571 572 573 574 575 >> [Всего задач: 4557]