Страница:
<< 115 116 117 118
119 120 121 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11
|
Определение. Пусть функция
f (
x,
y) задана во всех
точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию
f (
x,
y)
гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (
x,
y)=1/4(
f (
x+1,
y)+
f (
x-1,
y)+
f (
x,
y+1) +
f (
x,
y-1)).
Пусть
f (
x,
y) и
g(
x,
y) — гармонические функции.
Докажите, что для любых
a и
b функция
af (
x,
y) +
bg(
x,
y) также
будет гармонической.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 10,11
|
Докажите следующие свойства функций gk,l(x)
(определения функций gk,l(x)
смотри здесь):
а) gk,l(x) = 
, где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1);
б) gk,l(x) = gl,k(x);
в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x);
г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x);
д) gk,l(x) – многочлен степени kl.
Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных
коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9,10,11
|
Найдите коэффициент при x у многочлена (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).
a, b, c – такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.
Докажите, что ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + 1/98 – 1/99 + 1/100 > ⅕.
Страница:
<< 115 116 117 118
119 120 121 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
