Страница: << 893 894 895 896 897 898 899 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64968

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64969

Темы:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64971

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. A₀ – середина стороны BC. Прямые A₀B₁ и A₀C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно прямой BC, в точках P и Q. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника PA₀Q лежит на высоте треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64972

Темы:   [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На плоскости отмечена точка M, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка Q, а по оси абсцисс точка P так, что угол PMQ всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек N, симметричных M относительно PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64975

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC  ∠B = 2∠C.  Точки P и Q на серединном перпендикуляре к стороне CB таковы, что  ∠CAP = ∠PAQ = ∠QAB = ⅓ ∠A.
Докажите, что Q – центр описанной окружности треугольника CPB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 893 894 895 896 897 898 899 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями