Страница: << 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116763

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Пусть  a₁, ..., a₁₀  – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 20 чисел  a₁, a₂, ..., a₁₀, 2a₁, 2a₂,..., 2a₁₀  равняться 2012?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116773

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Раскраски ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116775

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Функции. Непрерывность (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны многочлен P(x) и такие числа  a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃,  что  a₁a₂a₃ ≠ 0.  Оказалось, что  P(a₁x + b₁) + P(a₂x + b₂) = P(a₃x + b₃)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116793

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 5,6

Коля утверждает, что можно выяснить, делится ли на 101 сумма всех четырёхзначных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 9, не вычисляя самой суммы. Прав ли Коля?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116813

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Равнобедренный треугольник с углом 120° сложен ровно из трёх слоёв бумаги. Треугольник развернули – и получился прямоугольник. Нарисуйте такой прямоугольник и покажите пунктиром линии сгиба.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1101 1102 1103 1104 1105 1106 1107 >> [Всего задач: 8157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями